Question

已知抛物线y²=x，则过P（1，1）与抛物线有且只有一个交点的直线有（　　）条．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：易知符合条件的直线存在斜率，设直线方程为：y-1=k（x-1），与抛物线方程联立消掉y得x的方程，按照x²的系数为0，不为0两种情况进行讨论，其中不为0时令△=0可求．

解答：解：当直线不存在斜率时，不符合题意；
当直线存在斜率时，设直线方程为：y-1=k（x-1），
由

y-1=k(x-1) y2=x

，k²x²+（2k-1-2k²）x+k²-2k+1=0，
当k=0时，方程为：-x+1=0，得x=1，此时只有一个交点（1，1），直线与抛物线相交；
当k≠0时，令△=（2k-1-2k²）²-4k²（k²-2k+1）=0，化简得，4k²-4k+1=0，
解得k=

1

2

，此时直线与抛物线相切，直线方程为：y-1=

1

2

（x-1），即x-2y+1=0；
综上，满足条件的直线有两条：方程为y=1，x-2y+1=0，如右图所示：
故选B．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．