Question

已知椭圆C与双曲线x²-y²=1共焦点，且下顶点到直线x+y-2=0的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若一直线l₂：y=kx+m与椭圆C相交于A、B（A、B不是椭圆的顶点）两点，以AB为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线l₂过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为椭圆C与双曲线x²-y²=1共焦点，所以可根据双曲线的焦点坐标求出椭圆中的c值，再根据下顶点到直线x+y-2=0的距离为，可求出b的值，利用a，b，c的关系式，就可得到a的值，这样椭圆C的方程可得．
（2）把y=kx+m与（10中求出的椭圆方程联立，求出x₁+x₂，x₁x₂，y₁+y₂，y₁y₂，再根据以AB为直径的圆过椭圆的上顶点，所以AQ⊥BQ，求出m的值，就可判断出直线l₂过定点，根据点斜式，求出该定点的坐标．
解答：解：（1）∵
∴椭圆C的焦点为
设椭圆的方程为，
由题意得．∴．
∴椭圆的方程为．
（2）椭圆的上顶点为Q（0，1），
由方程组，
即
∵直线l₂：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，
∴，
即3k²-m²+1＞0．
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则，
∴，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=．
∵以AB为直径的圆过椭圆的上顶点Q（0，1），
∴AQ⊥BQ，∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=0，
即x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0
∴，
化简得2m²-m-1=0，
∴．
当m=1时，直线l₂：y=kx+1过定点Q（0，1），与已知矛盾；
当时，满足3k²-m²+1＞0，
此时直线过定点，
∴直线l₂过定点．
点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及直线与椭圆位置关系的判断，做题时要认真分析．