Question

【题目】直线与抛物线相交于，两点，且，若，到轴距离的乘积为．

（1）求的方程；

（2）设点为抛物线的焦点，当面积最小时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设出两点的坐标，由距离之积为16，可得.利用向量的数量积坐标运算，将转化为.再利用两点均在抛物线上，即可求得p的值，从而求出抛物线的方程；

（2）设出直线l的方程，代入抛物线方程，由韦达定理发现直线l恒过定点，将面积用参数t表示，求出其最值，并得出此时的直线方程.

解：（1）由题设，

因为，到轴的距离的积为，所以，

又因为，，

，

所以抛物线的方程为．

（2）因为直线与抛物线两个公共点，所以的斜率不为，

所以设

联立，得，

即，，

即直线恒过定点，

所以，

当时，面积取得最小值，此时.