Question

已知动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x=1的距离之比为

2

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P的轨迹为曲线C，过点F作互相垂直的两条直线l₁、l₂，l₁交曲线C于A、B两点，l₂交曲线C于M、N两点．求证：

1

FA • FB

+

1

FM • FN

为定值．

Answer 1

分析：（1）设出动点P的坐标，直接利用条件写方程，化简．
（2）当当直线l₁，l₂之一与x轴垂直时，易求此定值，当直线l₁，l₂都不与x轴垂直时，设出直线l₁的方程，得到l₂的方程，将l₁的方程于双曲线的方程联立，利用根与系数的关系计算

FA

与

FB

，进而计算

FA

•

FB

的值，同理计算

FM

•

FN

的值，即得结果．

解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），由题意得：

(x-2)2+y2

=

2

|x-1|．
所以点P的轨迹方程为x²-y²=2．（4分）
（Ⅱ）当直线l₁，l₂之一与x轴垂直，不妨设l₁与x轴垂直，此时A(2，

2

)，B(2，-

2

)，M(-

2

，0)，N(

2

，0)，

FA

•

FB

=(0，

2

)•(0，-

2

)=-2，

FM

•

FN

=(-

2

-2，0)•(

2

-2，0)=2，
所以

1

FA • FB

+

1

FM • FN

=0．（6分）
当直线l₁，l₂都不与x轴垂直时，
由题意设直线l₁为y=k（x-2）k≠0，
则l₂的方程y=-

1

k

(x-2)，
由

y=k(x-2) x2-y2=2

得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0．（7分）
因为l₁交双曲线C于A、B两点，
所以

1-k2≠0 △=16k4+4(1-k2)(4k2+2)＞0

解得k≠±1．（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4k2

k2-1

，x1x2=

4k2+2

k2-1

，y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
因为

FA

=（x₁-2，y₁），

FB

=（x₂-2，y₂），
所以

FA

•

FB

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=（1+k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=(1+k2)(

4k2+2

k2-1

-

8k2

k2-1

+4)=

-2(k2+1)

k2-1

（11分）
同理

FM

•

FN

=

-2(1+k2)

1-k2

，（12分）
所以

1

FA • FB

+

1

FM • FN

=-

1

2

(

k2-1

1+k2

+

1-k2

1+k2

)=0，
即

1

FA • FB

+

1

FM • FN

为定值0．（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求法、直线与圆锥曲线的综合应用．