Question

【题目】如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．

（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，

又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，

∴AD⊥PC，又AF⊥PC，

∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF

（2）解：设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，

∴PC=2，PD= ，由（1）知CF⊥DF，

∴DF= ，AF= = ，

∴CF= = ，又FE∥CD，

∴ ，∴DE= ，同理可得EF= CD= ，

如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，1），E（ ，0，0），F（ ， ，0），P（ ，0，0），C（0，1，0）

设向量 =（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有 ， ，

∴ ，令x=4可得z= ，∴ =（4，0， ），

由（1）知平面ADF的一个法向量为 =（ ，1，0），

设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，

cosθ=|cos＜ ， ＞|= = =

∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：

【解析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．