Question

已知数列{a_n}的各项均为正整数，S_n为其前n项和，对于n=1，2，3，…，有a_n+1=

3an+5，an为奇数 an 2k ，an为偶数，其中k为使an+1为奇数的正整数

．当a₁=1时，S₁+S₂+…+S₂₀=

230

．

Answer 1

分析：由a₁=1，可得a₂=3a₁+5=8，a₃=

a2

2k

=

8

2k

，根据题意当k=3时，a₃=1．得到a₄=3a₃+5=8．…．
由此可得：数列{a_n}是奇数项组成以常数1为项的常数列，偶数项是以常数8为项的常数列．即可得出．

解答：解：∵a₁=1，∴a₂=3a₁+5=8，a₃=

a2

2k

=

8

2k

，取k=1，2时，a₃为偶数，应舍去；当k=3时，a₃=1．
∴a₄=3a₃+5=8．
…．
∴数列{a_n}是奇数项组成以常数1为项的常数列，偶数项是以常数8为项的常数列．
∴S_2k=k×1+k×8=9k，S_2k-1=S_2k-8，
∴S₂+S₄+…+S₁₀=9×（1+2+…+5）=135．
∴S₁+S₃+…+S₉=（S₂-8）+（S₄-8）+…+（S₁₀-8）=135-8×5=95．
∴S₁+S₂+…+S₂₀=135+95=230．
故答案为230．

点评：正确理解题意和求出前4项得出规律是解题的关键．