Question

13．双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左，右焦点分别为F₁，F₂，过F₂且倾斜角为60°的直线与双曲线右支交于A，B两点，若△ABF₁为等腰三角形，则该双曲线的离心率为$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 先根据△ABF₁为等腰三角形，然后利用双曲线的定义分别将边长表示为a的关系，然后利用余弦定理建立a，c的方程，从而求出双曲线的离心率．

解答 解：如图，△ABF₁为等腰三角形，∴AF₁=AB=AF₂+F₂B，
∴AF₁-AF₂=F₂B=2a，
∵BF₁-BF₂=2a，∴BF₁=4a，
∵直线AB的倾斜角为60°，∴∠F_′F₂B=60°
∵F₁F₂=2C，在三角形F₁F₂B中，根据余弦定理得：
（4a）²=（2a）²+（2c）²-2•（2a）•2c•cos60°
整理得，3a²+ac-c²=0同除以a²得，$（\frac{c}{a}）^{2}$-$\frac{c}{a}$-3=0，
即e²-e-3=0，解得${e}_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，${e}_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$（舍）．
故答案为：$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．