Question

已知函数f（x）=x²－4，设曲线y＝f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1,0）（n∈N ⁺），其中x_n为正实数．
（1）用x_n表示x_n+1；
（2）若x₁=4，记a_n=lg，证明数列｛a_n｝成等比数列，并求数列｛x_n｝的通项公式；
（3）若x₁＝4，b_n＝x_n－2，T_n是数列｛b_n｝的前n项和，证明T_n<3．

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析．

解析试题分析：（1）由题设条件知曲线y=f（x）在点处的切线方程是．由此可知．所以．（2）由，知，同理．故．由此入手能够导出．（3）由题设知，所以，由此可知．
解：（1）由题可得．
所以曲线在点处的切线方程是：．
即．
令，得．
即．显然，
∴．
（2）由，知，’同理．----6’
故．-----7’
从而，即．所以，数列成等比数列．---8’
故．即．----9’
从而,所以．----10’
（3）由（Ⅱ）知，∴
∴   ---11’
当时，显然．-------12’
当时，-----13’
∴．综上，．
考点：1．数列递推式；2．等比关系的确定；3．数列的求和；4．不等式的证明．