Question

设双曲线C：

x2

2

-y2=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，垂直于x轴的直线a与双曲线C交于不同的两点S、T．
（1）求直线A₁S与直线A₂T的交点H的轨迹E的方程；
（2）设A，B是曲线E上的两个动点，线段AB的中垂线与曲线E交于P，Q两点，直线l：x=

1

2

，线段AB的中点M在直线l上，若F（1，0），求

FP

•

FQ

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用三点共线建立方程，利用S（x₀，y₀）在双曲线上，即可求得轨迹方程；
（2）利用点差法表示出斜率，可得直线PQ的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求

FP

•

FQ

的取值范围．

解答：解：（1）设直线A₁S与直线A₂T的交点H的坐标为（x，y），S（x₀，y₀），T（x₀，-y₀）
由A₁、H、S三点共线，得：(x0+

2

)y=y0(x+

2

)…③
由A₂、H、T三点共线，得：(x0-

2

)y=-y0(x-

2

)…④
联立③、④，解得 x0=

2

x

，y0=

2 y

x

．
∵S（x₀，y₀）在双曲线上，
∴

( 2 x )2

2

-(

2 y

x

)2=1．
∴轨迹E的方程为：

x2

2

+y 2=1(x≠0，y≠0)．
（2）由（1）知直线AB不垂直于x轴，设直线AB的斜率为k，
M（

1

2

，m）（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由 

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

得（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）•

y1-y2

x1-x2

=0，
则1+4mk=0，得：k=-

1

4m

．
此时，直线PQ斜率为k₁=4m，PQ的直线方程为：y-m=4m(x-

1

2

)．
代入椭圆方程消去y，整理得 （32m²+1）x²-16m²x+2m²-2=0．
又设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
则：x3+x4=

16m2

32m2+1

，x3x4=

2m2-2

32m2+1

．
∴

FP

•

FQ

=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x₃x₄-（x₃+x₄）+1+（4mx₃-m）（4mx₄-m）
=(1+16m2)x3x4-(4m2+1)(x3+x4)+m2+1=(1+16m2)

2m2-2

32m2+1

-(4m2+1)

16m2

32m2+1

+m2+1
=

-13m2-1

32m2+1

令t=1+32m²，
∵点M(

1

2

，m)在椭圆内，∴

( 1 2 )2

2

+m2＜1，
又∵m≠0，
∴0＜m2＜

7

8

，∴1＜t＜29，
则

FP

•

FQ

=-

13

32

-

19

32t

∈(-1，-

99

232

)．
∴，

FP

•

FQ

的取值范围为(-1，-

99

232

)

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．