Question

已知

a

，

b

是两个向量，且

a

=（1，

3

cosx），

b

=（cos²x，sinx），x∈R，定义：y=

a

•

b

．
（1）求y关于x的函数解析式y=f（x）及其单调递增区间；?
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函数y=f（x）的最大值、最小值及其相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的向量的坐标和定义的函数，写出y的表示式，式子是一个三角函数式，逆用二倍角公式变化为能求解三角函数性质的形式，根据余弦函数的单调区间写出y=f（x）的单调递增区间．
（2）根据所给的变量x的范围，写出2x-

π

3

的范围，结合余弦的三角函数图象，写出cos（2x-

π

3

）的范围，根据范围写出最值和对应的变量的取值．

解答：解：（1）∵

a

=（1，

3

cosx），

b

=（cos²x，sinx），
∴

a

•

b

=cos²x+

3

cosx•sinx=cos（2x-

π

3

）+

1

2

，
∴y=cos（2x-

π

3

）+

1

2

．
要求函数的单调递增区间，
只要使2x-

π

3

∈[2kπ，2kπ+π]
解得单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（2）由x∈[0，

π

2

]，得-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴-

1

2

≤cos（2x-

π

3

）≤1．
∴f（x）_min=0，
此时x=

π

2

；?
f（x）_max=

3

2

，此时x=

π

6

．

点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量的数量积为条件，得到三角函数的关系式，是一道综合题，在高考时可以以选择和填空形式出现，也可以以解答题形式出现．