Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．　

（1）证明：平面平面；

（2）若，为棱的中点，，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）由四边形为矩形，可得，再由已知结合面面垂直的性质可得平面，进一步得到，再由，利用线面垂直的判定定理可得面，即可证得平面；

（2）取的中点，连接，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题得，解得. 进而求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.

详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.

∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，

∴CD⊥平面PBC，

∴CD⊥PB.

∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.

∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.

（2）设BC中点为,连接，

，又面 面，且面 面 ，

所以面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，设，

可得

所以由题得，解得.

所以

设是平面的法向量，则，即，

可取.

设是平面的法向量，则，即，

可取.

则，

所以二面角的余弦值为.