Question

已知某飞机飞行中每小时的耗油量与其速度的立方成正比．当该机以a公里/小时的速度飞行时，其耗油费用为m元（油的价格为定值）．又设此机每飞行1小时，除耗油费用外的其他费用为n元．试求此机飞行l公里时的最经济时速及总费用．

Answer 1

分析：设最经济的时速为x公里/小时，依题意，设1小时耗油费用为y₁（元），由已知，耗油量与其速度的立方成正比，则耗油费用也与速度的立方成正比，因此可设y1=kx3；又由已知，当x=a时，y₁=m，从而可得y1=

mx3

a3

．飞行1小时的总费用为 

mx3

a3

+n，从而可得飞行l公里的总费用为的函数，利用基本不等式可求函数的最值，从而得结论．

解答：解：设最经济的时速为x公里/小时，依题意，设1小时耗油费用为y₁（元），
由已知，耗油量与其速度的立方成正比，则耗油费用也与速度的立方成正比，因此可设y1=kx3，
又由已知，当x=a时，y₁=m，代入上式可求出k=

m

a3

∴y1=

mx3

a3

由题意，飞行1小时的总费用为   

mx3

a3

+n
设飞行l公里的总费用为y，则y=(

mx3

a3

+n)•

l

x

=l(

mx2

a3

+

n

x

)=l(

mx2

a3

+

n

2x

+

n

2x

)≥

3l

a

3	mn2 4

当且仅当

mx2

a3

=

n

2x

，即x=a

3	n 2m

时，ymin=

3l

a

3	mn2 4

答：最经济的时速为a

3	n 2m

公里/小时，总费用为

3l

a

3	mn2 4

元．

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，解题的关键是根据题意，构建函数关系式．