Question

设等比数列的首项为，公比为为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足。

（1）       求数列的通项公式；

（2）       试确定实数的值，使得数列为等差数列；

（3）       当数列为等差数列时，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前项和，试求满足的所有正整数。

Answer 1

解： （1）由题意，则，解得或

因为为正整数，所以，

又，所以

（2）当时，得，

同理：时，得；时，得，

则由，得而当时，，得。

由，知此时数列为等差数列。

（3）由题意知，

则当时，，不合题意，舍去；

当时，，所以成立；

当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，则

又，所以，

即，所以

因为为奇数，而为偶数，所以上式无解。

即当时，

综上所述，满足题意的正整数仅有。