Question

【题目】已知定义在区间上的函数，.

（Ⅰ）证明：当时，；

（Ⅱ）若曲线过点的切线有两条，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）利用导数求得函数单调性，可证得；（2）利用假设切点的方式写出切线方程，原问题转化为方程在上有两个解；此时可采用零点存在定理依次判断零点个数，得到范围，也可以先利用分离变量的方式，构造新的函数，然后讨论函数图像，得到范围.

（1）证明：时，

在上递减，在上递增

（2）当时，，，明显不满足要求；

当时，设切点为（显然），则有

，整理得

由题意，要求方程在区间上有两个不同的实数解

令

①当即时，在上单调递增，在上单调递减或先单调递减再递增

而，，

，

在区间上有唯一零点，在区间上无零点，

所以此时不满足题要求.

②当时， 在上单调递增

不满足在区间上有两个不同的实数解

③当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

，

在区间上有唯一零点，所以此时不满足题要求.

④当时，在上单调递减，在上单调递增，

，，

当即时，在区间上有唯一零点，此时不满足题要求.

当即时，在区间和上各有一个零点

设零点为，又这时显然在区间上单调递减

，此时满足题目要求.

综上所述，的取值范围是

（2）解法二：设切点为

由解法一的关于的方程在区间内有两解

显然不是方程的解

故原问题等价于在区间内有两解

设，且

则，且

令，，则

又，；，

，

故，；，

从而，递增，，递减

令，

由于时，时

故，；，，

而时，，时，

故在区间内有两解

解得：