Question

设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c若函数f(x)=x2+mx-

1

4

为偶函数，且f(cos

B

2

)=0．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为

3

2

，其外接圆半径为

2 3

3

，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）由题意可求得m=0，再由f(cos

B

2

)=0可求得角B的大小；
（2）由正弦定理可求得b=2，再利用余弦定理可求得a+c=

6

，从而得到△ABC的周长．

解答：解：（1）∵函数f(x)=x2+mx-

1

4

为偶函数，
∴m=0…2′
又f(cos

B

2

)=0，
∴cos2

B

2

=

1

4

，即

1+cosB

2

=

1

4

…4′
∴cosB=-

1

2

，
∵0＜B＜π，
∴B=

2π

3

…6′
（2）∵△ABC的外接圆半径为

2 3

3

，
∴由正弦定理得：

b

sinB

=

4 3

3

，
∴b=2…8′
又由余弦定理得：a²+c²-2accos

2π

3

=4，即a²+c²+ac=4．
又△ABC的面积为

1

2

acsinB=

3

2

，
∴ac=2…9′
∴a²+c²=2，
∴（a+c）²=6，a+c=

6

，
∴△ABC的周长2+

6

…12′

点评：本题考查正弦定理与余弦定理，由函数奇偶性的性质求得B=

2π

3

是关键，着重考查二定理的综合应用，属于中档题．