Question

(本题分12分）
如图，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点A、B, 将直线按向量平移得到直线,为上的动点,为抛物线弧上的动点.
(Ⅰ) 若 ,求抛物线方程.
(Ⅱ)求的最大值.
(Ⅲ)求的最小值.
 

Answer 1

（1）.  (2) .
(3)当时,的最小值为.

此题考查抛物线的定义，及向量坐标运算
（1）根据抛物线的定义得到|AB|=x₁+x₂+p=4p，再由已知条件，得到抛物线的方程；（2）设直线l的方程及N点坐标和A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用向量坐标运算，求得
的以N点坐标表示的函数式，利用二次函数求最值的方法，可求得所求的最小值.
解：（1）由条件知，则，消去得：①，则，由抛物线定义，
又因为，即，则抛物线方程为.-------------3分
(2)由(1)知和,设,则到距离:
,因在直线的同侧,所以,
则,即,
由①知
所以,则当时, ,
则.----------------------8分
(3) 设,,
则,
即
由①知,,,，则,即，当时,的最小值为.
(其它方法酌情给分)-------- ------12分