Question

如图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展”而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来…如此类推．设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为a_n，则a₆=

 

；

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

+…+

1

a99

=

 

．

Answer 1

分析：通过观察前几个图形中新增加了边数得，n边形“扩展”以后，每条边上又新增加了n条边，变成了n+n×n边形了，从而求得a_n，及a₆，再利用数列中拆项法结合求和公式即可解决求和问题．

解答：解：根据图形观察发现：
n边形“扩展”以后，每条边上又新增加了n条边，变成了n+n×n边形了，
即n边形“扩展”而来的多边形的边数
a_n=n+n²=n（n+1），所以a₆=6×7=42．

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

++

1

a99

=

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

++

1

99×100

=(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)++(

1

99

-

1

100

)=

1

3

-

1

100

=

97

300

．
故答案为：42；

97

300

．

点评：本题主要考查了归纳推理、数列的求和、数列递推式，以及分析问题解决的能力，属于基础题．