Question

已知函数
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间;
（Ⅱ）若，对定义域内任意x,均有恒成立，求实数a的取值范围？
（Ⅲ）证明：对任意的正整数，恒成立。

Answer 1

（Ⅰ）在；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析．

试题分析：（Ⅰ）当时，求函数的单调区间，首先确定定义域，可通过单调性的定义，或求导确定单调区间，由于，含有对数函数，可通过求导来确定单调区间，对函数求导得，由此令，，解出就能求出函数的单调区间；（Ⅱ）若，对定义域内任意,均有恒成立，求实数的取值范围，而，对定义域内任意,均有恒成立，属于恒成立问题，解这一类题，常常采用含有参数的放到不等式的一边，不含参数（即含）的放到不等式的另一边，转化为函数的最值问题，但此题用此法比较麻烦，可考虑求其最小值，让最小值大于等于零即可，因此对函数求导，利用导数确定最小值，从而求出的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，，当且仅当时，等号成立，这个不等式等价于，即，由此对任意的正整数，不等式恒成立．
试题解析：（Ⅰ）定义域为（0，+∞），，，所以在（4分）
（Ⅱ），当时，在上递减，在上递增，，当时，　不可能成立，综上；（9分）
（Ⅲ）令，相加得到
得证。（14分）