Question

设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，在轴负半轴上有一点，且

（1）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；

（2）在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

1）由题意，得，所以 

又   由于，所以为的中点，

所以

所以的外接圆圆心为，半径…………………3分

又过三点的圆与直线相切，

所以解得，

所求椭圆方程为 …………………………………………………… 6分

（2）有（1）知,设的方程为：

将直线方程与椭圆方程联立

,整理得

设交点为，因为

则……………………………………8分

若存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，

由于菱形对角线垂直，所以

又 

又的方向向量是，故，则

，即

由已知条件知………………………11分

，故存在满足题意的点且的取值范围是 

【解析】略