Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

），其部分图象如图所示．
（Ⅰ） 求函数f（x）的解析式； 
（Ⅱ）已知横坐标分别为-1、1、5的三点M、N、P都在函数f（x）的图象上，记∠MNP=θ，求cos2θ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 通过函数的图象求出A，以及函数是周期T，得到ω，利用函数经过的特殊点结合-

π

2

＜φ＜

π

2

，求出φ值，即可求函数f（x）的解析式； 
（Ⅱ）利用横坐标分别为-1、1、5的三点M、N、P都在函数f（x）的图象上，求出M、N、P的坐标，求出MN，MP，PN，通过余弦定理求出∠MNP=θ，利用二倍角的余弦函数求cos2θ的值．

解答：解：（Ⅰ）由图可知，A=1，…（1分）
且f（x）的最小正周期T=2[3-（-1）]=8，
∴ω=

2π

T

=

π

4

…（3分）
又f（1）=sin（

π

4

+φ）=1，且-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴-

π

4

＜φ+

π

4

＜

3π

4

，
∴φ=

π

4

．
∴f（x）=sin

π

4

（x+1）．…（6分）
（Ⅱ）∵f（-1）=sin

π

4

（-1+1）=sin0=0．f（1）=sin

π

4

（1+1）=sin

π

2

=1．
f（5）=sin

π

4

（5+1）=sin

3π

2

=-1，
∴M（-1，0），N（1，1），P（5，-1），…（9分）
∴|MN|=

(1+1)2+(1-0)2

=

5

，|MP|=

(5+1)2+(-1-0)2

=

37

，|PN|=

(5-1)2+(-1-1)2

=

20

，
∴cos∠MNP=

MN2+PN2-MP2

2MN•PN

=

5+20-37

2 5 × 20

=-

3

5

，
即cosθ=-

3

5

…（11分），
于是cos2θ=2cos2θ-1=2×(-

3

5

)2-1=-

7

25

．…（12分）

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，余弦定理的应用以及二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力．