Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为平行四边形， ， ， 底面.

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1) 见解析(2)

【解析】试题分析：（1）推导出BC⊥BD，PD⊥BC，从而BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．

（2）由BC⊥平面PBD，得∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即，从而BD=，PD=，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．

试题解析：

（1）∵,∴

又∵底面，∴，

又∵，∴平面

而平面，∴平面平面.

（2）由（1）所证， 平面

所以即为二面角的平面角，即.

而，所以

因为底面为平行四边形，所以，

分别以为轴建立空间直角坐标系

则，

所以

设平面的法向量为，则

即

令，则，

所以

∴与平面所成角的正弦值.