Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2．
（1）建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；
（2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz，求出点B，P的坐标即可；
（2）先求异面直线PA与BC所在向量的坐标，再根据向量的夹角公式求出所成角．

解答：解：（1）如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系D-xyz．
∵∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2，
∴A（2，0，0），C（0，1，0），B（2，4，0），
由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，
∴∠PAD=60°．
在Rt△PAD中，由AD=2，得PD=2

3

，
∴P（0，0，2

3

）．
（2）∵=（2，0，-2

3

），
=（-2，-3，0），
∴cos＜PA，BC＞=

2×(-2)+0×(-3)+(-2 3 )×0

4 13

=-

13

13

，
所以PA与BC所成角的余弦值为

13

13

点评：本小题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、坐标运算等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．