Question

已知f（x）=aln（x-1），g（x）=x²+bx，F（x）=f（x+1）-g（x），其中a，b∈R．
（Ⅰ）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；
（Ⅱ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x₀和1是F（x）的两个零点，且x₀∈（n，n+1）n∈N，求n；
（Ⅲ）当b=a-2时，若x₁，x₂是F（x）的两个极值点，当|x₁-x₂|＞1时，求证：|F（x₁）-F（x）|＞3-4ln2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义建立切线斜率之间的关系建立方程，求a，b的值；
（Ⅱ）根据导数和函数极值之间的关系建立方程，即可求n；
（Ⅲ）根据极值和函数之间的关系求函数的最值即可证明不等式．

解答：解：（I）f′(x)=

a

x-1

，g'（x）=2x+b…（1分）
由题知

f(2)=g(2) f′(2)•g′(2)=-1

，即

0=4+2b a(4+b)=-1

…（2分）
解得

a=- 1 2 b=-2

（II）F（x）=f（x+1）-g（x）=alnx-（x²+bx），F′(x)=

a

x

-2x-b
由题知

F′(2)=0 F(1)=0

，即

a 2 -4-b=0 1+b=0

解得a=6，b=-1…（6分）
∴F（x）=6lnx-（x²-x），F′(x)=

6

x

-2x+1=

-(2x+3)(x-2)

x

∵x＞0，由F'（x）＞0，解得0＜x＜2；由F'（x）＜0，解得x＞2
∴F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，
故F（x）至多有两个零点，其中x₁∈（0，2），x₂∈（2，+∞）…（7分）
又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3-1）＞0，F（4）=6（ln4-2）＜0
∴x₀∈（3，4），故n=3    …（9分）
（III）当b=a-2时，F（x）=alnx-[x²+（a-2）x]，F′(x)=

a

x

-2x-(a-2)=

-(2x+a)(x-1)

x

，
由题知F'（x）=0在（0，+∞）上有两个不同根x₁，x₂，则a＜0且a≠-2，此时F'（x）=0的两根为-

a

2

，1，…（10分）
由题知|-

a

2

-1|＞1，则

a2

4

+a+1＞1，a²+4a＞0
又∵a＜0，∴a＜-4，此时-

a

2

＞1
则F（x）与F'（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，- a 2 ）	- a 2	（- a 2 ，+∞）
F'（x）	-	0	+	0	-
F（x）		极小值		极大值

∴|F（x₁）-F（x）|=F（x）_极大值-F（x）_极小值=F（-

a

2

）-F（1）
=aln（-

a

2

）+

1

4

a²-1，…（11分）
设?(a)=aln(-

a

2

)+

1

4

a2-1，则?′(a)=ln(-

a

2

)+

1

2

a+1，?″(a)=

1

a

+

1

2

，
∵a＜-4，∴

1

a

＞-

1

4

，
∴?″(a)=

1

a

+

1

2

＞0，
∴?'（a）在（-∞，-4）上是增函数，?'（a）＜?'（-4）=ln2-1＜0
从而?（a）在（-∞，-4）上是减函数，∴?（a）＞?（-4）=3-4ln2
∴|F（x₁）-F（x）|＞3-4ln2．

点评：本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握函数的性质和导数之间的关系，考查学生的运算能力．