Question

【题目】已知函数（常数）．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】

（1）先根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果；

（2）先求函数最小值，再根据最小值分类讨论，结合零点存在定理确定零点个数

（1）当时，，

∴，

∴．

又∵，

∴曲线在处的切线方程为．

（2）∵，

∴．

∵，，

∴当时，，当时，，

∴在上是增函数，在上是减函数．

∴．

讨论函数的零点情况如下：

①当，即时，函数无零点，在上也无零点．

②当，即时，函数在内有唯一零点，

而，

∴在内有一个零点．

③当，即时，

由于，，

，

当，即时，，．

由单调性可知，函数在内有唯一零点，在内有唯一零点，则在内有两个零点；

当，即时，，而且，，

由单调性可知在内有唯一的一个零点，在内没有零点，

所以在内只有一个零点．

综上所述，当时，函数在区间上无零点；

当或时，函数在区间上有一个零点；

当时，函数在区间上有两个零点．