Question

（2010•宝山区模拟）已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）通过bn=

Sn

n+c

构造一个新的数列{b_n}，求非零常数c，使{b_n}也为等差数列；
（3）对于（2）中符合条件的数列{b_n}，求f(n)=

bn

(n+2010)•bn+1

(n∈N*)的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为s_n，且满足a₂a₃=45，a₁+a₄=14，我们构造出关于首项和公差的方程，解方程求出首项和公差，即可得到数列{a_n}的通项公式．
（2）根据（1）的结论，可得到s_n的表达式，再根据bn=

Sn

n+c

可得数列{b_n}的前3项，根据{b_n}也是等差数列，构造关于b的方程，即可求出非零常数c的值．
（3）根据（2）可得f（n）═

n

(n+2010)(n+1)

=

1

n+ 2010 n +2011

但对于n+

2010

n

不能用基本不等式因为等号成立的条件是n²=2010但由于n为正整数这是不可能的因此需比较与

2010

邻近的两个正整数44，45所对应的44+

2010

44

和55+

2010

55

的大小就可得出f（n）的最大值．

解答：解：：（1）{a_n}为等差数列，所以，a₁+a₄=a₂+a₃=14
又a₂a₃=45所以a₂，a₃是方程x²-14x+45=0的两实根，公差d＞0，
∴a₂＜a₃∴a₂=5，a₃=9
∴a₁+d=5，a₁+2d=9
∴a₁=1，d=4
∴a_n=4n-3
（2）由（1）知s_n=n（2n-1）
∴bn=

Sn

n+c

=

n(2n-1)

n+c

∴b₁=11+c，b₂=62+c，b₃=153+c
又∵{b_n}也是等差数列
∴b₁+b₃=2b₂
即  2•（62+c）=11+c+153+c，解得 c=-

1

2

或c=0（舍去）
∴bn=2n是等差数列，故 c=-

1

2

（3）∵f(n)=

bn

(n+2010)•bn+1

(n∈N*)=

n

(n+2010)(n+1)

=

1

n+ 2010 n +2011

且44+

2010

44

＞55+

2010

55

∴f（n）≤

9

18906

故f（n）有最大值且最大值为

9

18906

点评：本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中求等差数列的通项公式时，根据已知构造出关于首项和公差的方程，是最常用的办法．