Question

（示范高中）已知直线l过点M（-3，3），圆N：x²+y²+4y-21=0．
（1）求截得圆N弦长最长时l的直线方程；
（2）若直线l被圆N所截得的弦长为8，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）把圆N的方程化为标准方程，找出圆心N的坐标，根据题意可知直线l过圆心时截得的弦最长，故由N及M的坐标确定出直线l的方程即可；
（2）设直线l与圆N交于A和B两点的坐标，过圆心N作ND垂直于AB，根据垂径定理得到D为AB的中点，从而得到|DB|=4，接下来分两种情况考虑：第一，直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为x=-3，把x=-3代入圆N的方程中，得到关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，经过检验得到y=-6时，弦AB的长为8，符合题意；第二，当直线k的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由M的坐标和设出的斜率k写出直线l的方程，在直角三角形BDN中，由|DB|的长及半径|NB|的长，利用勾股定理求出|ND|的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心N到直线l的距离d，令d等于求出的|ND|的长列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出直线l的方程，综上，得到所有满足题意的直线l的方程．

解答：解：（1）显然，当直线l通过圆心N时，被截得的弦长最长．（2分）
由x²+y²+4y-21=0化为标准方程为x²+（y+2）²=25，
可得：圆心N（0，-2），又M（-3，3），
故所求直线l的方程为：

x-0

-3-0

=

y-(-2)

3-(-2)

，即5x+3y+6=0；（4分）

（2）设直线l与圆N交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点（如图）

作ND⊥AB交直线l于点D，显然D为AB的中点．且有|BD|=

|AB|

2

=4，（6分）
（i）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-3，
将x=-3代入x²+y²+4y-21=0，得y²+4y-12=0，
解得：y=-6或2，
因此|AB|=|2-（-6）|=8符合题意；（8分）
（ii）若直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为y-3=k（x+3）即：kx-y+3k+3=0
由x²+y²+4y-21=0，得N（0，-2），r=5，
因此|ND|=

r2-|BD|2

=

25-16

=3，（10分）
又因为点N到直线l的距离|ND|=

|-(-2)+3k+3|

1+k2

，
所以

|-(-2)+3k+3|

1+k2

=3，解得：k=-

8

15

，
此时直线l的方程为：8x+15y-21=0，
综上可知，直线l的方程为8x+15y-21=0或x=-3．（12分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有圆的标准方程，直线的两点式方程，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，利用了数形结合及分类讨论的思想，当直线与圆相交时，常常做出直线与圆相交弦的弦心距，由弦心距，圆的半径及弦的一半构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．