Question

设x，y∈R，i，j为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若a=（x+1）i+yj，b=（x-1）i+yj，|a|+|b|=4．
（I）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（II）过点（0，m）作直线l与曲线C交于A，B两点，若|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将两向量的模用坐标表示出来，探究发现点M到两个定点之间的距离和为4，符合椭圆的定义．用定义法写出其标准方程即可．
（2）由|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

知以

OA

，

OB

为邻边的四边形是矩形．故可得∵

OA

⊥

OB

，将此关系转移成用坐标表示的方程，将此方程转化成关于m的不等式，即可解出m的取值范围．

解答：解：（I）∵a=（x+1）i+yj，b=（x-1）i+yj
又|a|+|b|=4
∴

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=4
∴点M（x，y）的轨迹C是以（-1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1（5分）
（II）若|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，，则以

OA

，

OB

为邻边的平行四边形是矩形
设直线l的方程为y=kx+m，l与C的交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
∵

OA

⊥

OB

∴x₁x₂+y₁y₂=0    （*）
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
∵x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

①
y₁y₂=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
∴y1y2=

3m2-12k2

3+4k2

②
将①②代入（*）得7m²-12-12k²=0
∵12k²=7m²-12，k²≥0
∴7m²-12≥0
∴m2≥

12

7

③
又△＞0，得12k²-3m²+9＞0
∴7m²-12-3m²+9＞0
∴m2＞

3

4

④
由③④得m2≥

12

7

∴m≤-

2 21

7

或m≥

2 21

7

（13分）

点评：本题考查向量与圆锥曲线相接合的题，其特征一般是用向量的方法来给出题设条件，然后再利用圆锥曲线的相关知识来时行计算，此类题一般运算量较大，符号运算对，题目难度较大．