Question

已知曲线C1：

x=2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），曲线C2=

x=1+tcosα y=-1+tsinα

（t为参数）．
（1）若α=

π

4

，求曲线C₂的普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）曲线C₁和曲线C₂的交点记为M，N，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）将α的值代入曲线方程，消去参数t即可求出曲线C₂的普通方程，再根据直线参数方程代表的几何意义可知；
（2）将弦长MN表示出来|MN|=2

4-|OG|2

，要使|MN|的最小值，只需弦心距最大即可，此时弦心距为OG，解之即可．

解答：解：（1）∵α=

π

4

∴

x=1+ 2 2 t y=-1+ 2 2 t

（t为参数）
∴x-1=y+1，∴曲线C₂的普通方程是y=x-2（2分）
它表示过（1，-1），倾斜角为

π

4

的直线（3分）
（2）曲线C₁的普通方程为x²+y²=4（5分）
设G（1，-1），过G作MN⊥OG，
以下证明此时|MN|最小，
过G作直线M′N′，M′N′与MN不重合|M′N′|=2

4-|OG′|2

|MN|=2

4-|OG|2

在Rt△OG′G中，∵|OG|＞|OG′|∴|MN|＜|M′N′|（8分）
此时，|MN|=2

4-2

=2

2

（10分）

点评：本题主要考查了圆的参数方程、直线的参数方程，以及直线和圆的方程的应用，属于基础题．