Question

已知抛物线D的顶点是椭圆C：＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
(1)求抛物线D的方程；
(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．
①若直线l的斜率为1，求MN的长；
②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

(1)y²＝4x（2）①②存在直线m：x＝3满足题意

(1)由题意，可设抛物线方程为y²＝2px(p>0)．由a²－b²＝4－3＝1，得c＝1，∴抛物线的焦点为(1，0)，∴p＝2.∴抛物线D的方程为y²＝4x.
(2)设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．
①直线l的方程为y＝x－4，联立整理得x²－12x＋16＝0，即M(6－2，2－2)，N(6＋2，2＋2)，∴MN＝.
②设存在直线m：x＝a满足题意，则圆心E，过E作直线x＝a的垂线，垂足为E′，设直线m与圆E的一个交点为G.可得|E′G|²＝|EG|²－|EE′|²，即|E′G|²＝|EA|²－|EE′|²＝＝＋＋a(x₁＋4)－a²＝x₁－4x₁＋a(x₁＋4)－a²＝(a－3)x₁＋4a－a².当a＝3时，|E′G|²＝3，此时直线m被以AM为直径的圆E所截得的弦长恒为定值2，因此存在直线m：x＝3满足题意