Question

【题目】如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C是菱形，侧面ABB1A1⊥侧面AA1C1C，A1B=AB=AA1=2，△AA1C1的面积为 ，且∠AA1C1为锐角．
（I） 求证：AA1⊥BC1；
（Ⅱ）求锐二面角B﹣AC﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵侧面AA1C1C是菱形，且A1B=AB=AA1=2，
∴AA1=A1C1=C1C=CD=2，△AA1B是等边三角形，
取AA1的中点D，连结DB、DC1 ， 则AA1⊥BD，
由 = =2sin∠AA1C1= ，
得sin∠AA1C1= ，
又∠AA1C1为锐角，
∴∠AA1C1=60°，
∴△AA1C1是等边三角形，且AA1⊥C1D，
又∵BD平面BC1D，C1D平面BC1D，BD∩C1D=D，
∴AA1⊥平面BC1D，
∴AA1⊥BC1 ．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AA1⊥BD，
又∵侧面ABB1A1⊥侧面AA1C1C，
侧面ABB1A1∩侧面AA1C1C=AA1 ， BD平面ABB1A1 ，
∴BD⊥平面AA1C1C，
以D为原点，C1D为x轴，DA1为y轴，DB为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，﹣1，0），A1（0，1，0），C1（﹣ ，0，0），B（0，0， ），D（0，0，0），
， =（0，1， ），
=（0，0， ）是平面ACC1的一个法向量，
设 =（x，y，z）是平面ABC的一个法向量，
则 ，令z=1，得 =（1，﹣ ，1），
∴cos＜ ＞= = = ，
∴锐二面角B﹣AC﹣C1的余弦值为 ．


【解析】（Ⅰ）推导出△AA1B是等边三角形，取AA1的中点D，则AA1⊥BD，再推导出△AA1C1是等边三角形，且AA1⊥C1D，由此能证明AA1⊥BC1 ． （Ⅱ）以D为原点，C1D为x轴，DA1为y轴，DB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出锐二面角B﹣AC﹣C1的余弦值．
【考点精析】利用直线与平面垂直的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知垂直于同一个平面的两条直线平行．