Question

【题目】已知.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：对于任意的成立.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；当时，函数在内单调递增；当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）首先求出函数的定义域，然后求出其导函数，并对a进行分类讨论：，，，，，结合导数大于0和小于0所对应的自变量的取值范围，进而得出所求的结论；（2）构造函数，则，然后分别求出，，利用导数研究函数的单调性与最值即可得出函数的最小值，最后结合已知得出所求的结果即可.

试题解析：（1）解：的定义域为，当，时，，单调递增；，单调递减.当时，.①时，当时，单调递增，当时，单调递减；②时，当时单调递增；③时，，当单调递增，当时，单调递减.

综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；

当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；

当时，函数在内单调递增；

当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.

（2）由（1）知，时，

，设则

由可得，当且仅当x=1时取等号

又，设，则在单调递减，

使得，

在，上单调递增，在上单调递减

当且仅当时等号成立，，即对于任意的成立.