Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a=，a_n=a_n-1+，其中n=1，2，3，…．
（1）求a₁和a₂的值；
（2）求证：；
（3）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据递推关系a_n=a_n-1+，即可求出a₁和a₂的值；
（2）利用放缩法可得，然后两边同时除以a_na_n-1即可得到结论；
（3）根据（2）可得a_n＜n，从而，即，，而，从而，∴，即可证得结论．
解答：解：（1）∵，
∴，．
（2）∵a_n-a_n-1=＞0，
∴，∴．
（3）…
又，
∴a_n＜n．
∵，
∴．
∴．
∴
∴．
∵，∴，∴．
综上所述，．
点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及数列与不等式的综合运用，同时考查了计算能力，属于难题．