Question

（2012•郑州二模）为加强中学生实践、创新能力和同队精神的培养，促进教育教学改革，郑州市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛．某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

分组		频数	频率
一	60.5～70.5	A	0.26
二	70.5～80.5	15	C
三	80.5～90.5	18	0.36
四	90.5～100.5	B	D
合计		50	E

（I ）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，199，试写出第二组第一位学生的编号；
（II）求出a，b，c，d，e的值（直接写出结果），并作出频率分布直方图；
（III）若成绩在95.5分以上的学生为一等奖，现在，从所有一等奖同学中随机抽取5名同学代表学校参加决赛，某班共有3名同学荣获一等奖，若该班同学参加决赛人数记为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，199，能得到第二组第一位学生的编号．
（Ⅱ） 利用题设条件，能求出a，b，c，d，e的值，并能作出频率分布直方图．
（Ⅲ） 在被抽到的学生中获一等奖的人数为2（人），占样本的比例是

2

50

=0.04，即获一等奖的概率为4%，所以获一等奖的人数估计为200×4%=8（人），随机变量X的可能取值为0，1，2，3．由此能求出随机变量X的分布列和数学期望EX．

解答：解：（Ⅰ）若用系统抽样的方法抽取50个样本，
现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，199，
则第二组第一位学生的编号为004．…（3分）
（Ⅱ） a，b，c，d，e的值分别为
13，4，0.30，0.08，1．
…（6分）
（Ⅲ） 在被抽到的学生中获一等奖的人数为2（人），占样本的比例是

2

50

=0.04，即获一等奖的概率为4%，所以获一等奖的人数估计为200×4%=8（人），随机变量X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=

1

56

，P（X=1）=

15

56

，
P（X=2）=

30

56

，P（X=3）=

10

56

．
随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	1 56	15 56	15 28	5 28

…（10分）
随机变量X的数学期望EX=0×

1

56

+1×

15

56

+2×

15

28

+3×

5

28

=

15

8

．

点评：本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X的所有可能的取值是解题的关键．