Question

已知AB是抛物线x²=2py(p＞0)的任一弦，F为抛物线的焦点，l为准线，m为过A点且以v=(0,-1)为方向向量的直线.

(1)若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点，求证：|AF|=|CF|；

(2)若·+p²=0(A、B异于原点)，直线OB与m相交于点P，试求P点的轨迹方程；

(3)若AB为焦点弦，分别过A、B点的抛物线的两条切线相交于点T，求证：AT⊥BT，且T点在l上.

Answer 1

(1)证明：如图，设A(x₁,y₁),

    ∵y′=,

    ∴k_AC=.

    于是AC的方程为y-y₁=(x-x₁),即y=x-y₁.

    令x=0，得y=-y₁,即C(0，-y₁).

    由定义，|AF|=y₁+.

    又|CF|=-(-y₁)=y₁+,

    故|AF|=|CF|.

    (2)解：设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),P(x,y),

    ·+p²=0x₁x₂+y₁y₂+p²=0x₁x₂++p²=0(+p)²=0.

    ∴x₁x₂=-2p².

    直线OB的方程为y=x=x,          ①

    直线m的方程为x=x₁,                           ②

    ①×②得xy=xxy+px=0,

    ∵x≠0,∴y=-p.

    故P点的轨迹方程为y=-p.

(3)证明：设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、T(x₀,y₀),则k_AT=,k_BT=.

    由于AB是焦点弦，可设AB的方程为y=kx+，代入x²=2py,得x²-2pkx-p²=0.∴x₁x₂=-p².

    于是k_AT·k_BT==-1,故AT⊥BT.

    由(1)知，AT的方程为y=x-y₁,

    ∴y₀=x₀-y₁,即x₀x₁-py₁=py₀.

    同理,x₀x₂-py₂=py₀,

    ∴AB的方程为x₀x-py=py₀.

    又∵AB过焦点，∴-=py₀,即y₀=-.

    故T点在准线l上.