Question

【题目】如图所示，A，B，C是双曲线 =1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（ ）

A.
B.
C.
D.3

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，
设A（m，n），则m2+n2=c2 ，
又 ﹣ =1，
解得m= ，n= ，
即有A（ ， ），B（﹣ ，﹣ ），
又F（c，0），
由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，
可设C（x，y），即有 =﹣1，
又（c+ ）2+（ ）2=（x﹣c）2+y2 ，
可得x= ，y=﹣ ，
将C（ ，﹣ ）代入双曲线方程，可得
﹣ =1，
化简可得 （b2﹣a2）=a3 ，
由b2=c2﹣a2 ， e= ，
可得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，
对照选项，代入检验可得e= 成立．
故选：A．