Question

已知函数f（x）=e^x-ex
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对于函数h（x）=x²与g（x）=elnx，是否存在公共切线y=kx+b（常数k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函数h（x），g（x）各自定义域上恒成立？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f′（x）=e^x-e=0，∴x=1．∴f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．∴f（x）的最小值为0

（Ⅱ）设 ，∴
∴当 时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减；当 时，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增．
∴是函数F（x）的极小值点，也是最小值点，∴，∴函数f（x）与h（x）的图象在 处有公共点 （9分）
设f（x）与h（x）存在公共切线且方程为：，令函数 ，
ⅰ）由在x∈R恒成立，即在R上恒成立，
∴成立，
∴，故 ．（11分）
ⅱ）下面再证明：恒成立
设 ，则 ．
∴当时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增；当 时，φ′（x）＜0．函数φ（x）单调递减．∴时φ（x）取得最大值0，则 （x＞0）成立．（13分）
综上ⅰ）和ⅱ）知：且 ，
故函数f（x）与h（x）存在公共切线为，此时 ．（14分）
分析：（Ⅰ）要求函数的最小值，需要求出导函数并令其等于零得到x=1，然后分区间x＜1和x＞1，讨论函数的增减性来判断函数的极值，得到函数的最小值即可．
（Ⅱ）设 ，原问题转化为研究此函数的单调性问题，利用导数知识解决．
点评：本题考查了对数函数的导数运算，研究函数的最值问题．考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．