Question

【题目】若 则在内的所有零点之和为：__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，利用函数的性质求解各区间上零点，最后作和求出．

当时，f（x）＝8x﹣8，

所以，此时当时，g（x）max＝0；

当时，f（x）＝16﹣8x，所以g（x）＝﹣8（x﹣1）2+2＜0；

由此可得1≤x≤2时，g（x）max＝0．

下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．

当2n﹣1≤x≤32n﹣2时，由函数f（x）的定义知，

因为，

所以，

此时当x＝32n﹣2时，g（x）max＝0；

当32n﹣2≤x≤2n时，同理可知，．

由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max＝0．

综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间[2n﹣1，2n]上有1个零点，

从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．

故答案为：．