Question

【题目】如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC，的中点．

求证：平面；

求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

(1)根据线面垂直和面面垂直判定和性质,证得,通过三角形全等,证得,再根据线面垂直的判定定理,证得平面;

(2) 建立空间直角坐标系，向量法求二面角的余弦值.

（1）∵，D是AC的中点，∴，

∵平面ABC，∴平面平面ABC，

∴平面，∴．

又∵在正方形中，D，E分别是AC，的中点，易证得∴△A1AD≌△ACE

∴∠A1DA=∠AEC, ∵∠AEC+∠CAE=90°，∴∠A1DA+∠CAE=90° ,即．

又，∴平面．

（3）取中点F，以DF，DA，DB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，

设平面DBE的一个法向量为，则，

令，则，

设平面的一个法向量为，则，

令，则，

设二面角的平面角为，观察可知为钝角，

，

∴，故二面角的余弦值为．