Question

△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且b=1，c=2，如果△ABC是锐角三角形，则a的取值范围是

（

3

，

5

）

．

Answer 1

分析：由三角形两边之和大于第三边，解得1＜a＜3．然后分2≤a＜3、1＜a＜2两种情况确定三角形的最大边，根据△ABC是锐角三角形利用余弦定理建立关于a的不等式，解之得到a的取值范围，最后加以综合可得答案．

解答：解：由三角形两边之和大于第三边，得|b-c|＜a＜b+c，可得1＜a＜3，
△ABC是锐角三角形，即三角形的最大角是锐角．
①当2≤a＜3时，由b=1且c=2，可得最大边为a，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

＞0，即b²+c²-a²＞0，
得1²+2²-a²＞0，解之得2≤a＜

5

；
②当1＜a＜2时，可得最大边为c，
cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞0，即b²+a²-c²＞0，
得1²+a²-2²＞0，解之得

3

＜a＜2．
综上所述，可得边a的取值范围是（

3

，

5

）．
故答案为：（

3

，

5

）

点评：本题给出锐角三角形的两条边之长，求第三边的取值范围．着重考查了用余弦定理解三角形、三角形状的判断与不等式的解法等知识，属于中档题．