Question

我们知道，在平面直角坐标系中，方程

x

a

+

y

b

=1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”；类比到空间直角坐标系中，方程

x

λ

+

y

3

+z=1表示的点集对应的图形也具有某特定性质，设此图形为m，若m与zoy平面所成角正弦值为

2 5

5

，则正数λ的值是（　　）

• A．

  5

  2

• B．

  2 15

  15

• C．2

  3

• D．

  3

Answer 1

分析：由题意，方程

x

λ

+

y

3

+z=1表示平面，且在x轴，y轴，z轴上的截距分别为λ，

3

，1，利用m与zoy平面所成角正弦值为

2 5

5

，结合等面积，即可求得结论．

解答：解：由题意，方程

x

λ

+

y

3

+z=1表示平面，且在x轴，y轴，z轴上的截距分别为λ，

3

，1
设平面与x轴，y轴，z轴的交点分别为A，B，C，△ABC中，BC边上的高为h，则
∵m与zoy平面所成角正弦值为

2 5

5

，
∴

2 5

5

=

λ

h

，∴h=

5

2

λ
∵cosC=

AC2+BC2-AB2

2AC•BC

=

1

2 1+λ2

∴sinC=

1-cos2C

=

3+4λ2

2 1+λ2

∵BC=2
∴由等面积可得

1

2

•2•

5

2

λ=

1

2

•2•

1+λ2

•

3+4λ2

2 1+λ2

∴λ=

3

故选D．

点评：本题考查的知识点是类比推理，考查三角形面积的计算，属于基础题．