Question

【题目】如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥,,点在线段上．

（I）当点为中点时，求证：∥平面；

（II）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（I）建立空间直角坐标系，证明，进而得证；（II）

【解析】

试题（1）要证明直线和平面平行，只需在平面内找一条直线，与平面外的直线平行即可，取中点，连结．可证明四边形为平行四边形． 于是，∥，从而证明面;（2）要证明平面和平面垂直，只需在一个平面内找另一个平面的一条垂线，由面平面且，可证平面，从而，又可证，故平面，平面平面；（3）建立空间直角坐标系，设点M的坐标，求两个半平面的法向量，然后利用已知二面角的余弦值列方程，从而确定点M的位置，进而求三棱锥的体积.

试题解析：（1）证明 取中点，连结．在△中，分别为的中点，

则∥，且．由已知∥，，因此，∥，且．所以，四边形为平行四边形． 于是，∥．又因为平面，且平面，

所以∥平面，从而可证.

（2）证明 在正方形中，．又平面平面，平面平面，知平面．所以．在直角梯形中，，，算得．在△中，，可得．故平面．又因为平面，所以，平面平面.

（3）按如图建立空间直角坐标系，点与坐标原点重合.设，则，又，设，则，即.

设是平面的法向量，则,.

取，得，即得平面的一个法向量为. 由题可知，是平面的一个法向量.因此，，即点为中点.此时，，为三棱锥的高，所以，.