Question

【题目】某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）= （万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+ （万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵每件商品售价为0.05万元，

∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，

①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，

∴L（x）=（0.05×1000x）﹣ ﹣10x﹣250= +40x﹣250；

②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，

∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣ +1450﹣250=1200﹣（x+ ）．

综合①②可得，L（x）=

（2）解：由（1）可知， ，

①当0＜x＜80时，L（x）= +40x﹣250=﹣ ，

∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；

②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+ ）≤1200﹣2 =1200﹣200=1000，

当且仅当x= ，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．

综合①②，由于950＜1000，

∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．

【解析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）= （万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+ ，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．