Question

(南昌四校模拟)如下图，已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．

(1)证明：面PAD⊥面PCD；

(2)求AC与PB所成的角；

(3)求面AMC与面BMC所成二面角的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得CD⊥PD．　　　　　(1分) 因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直， ∴CD⊥面PAD．　　　　　　　　　　　　(2分) 又，∴面PAD⊥面PCD．　　　(3分) (2)过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBF是AC与PB所成的角   (4分) 连结AE，可知．又AB=2， 所以四边形ACBE为正方形．　　　(5分) 由PA⊥面ABCD得∠PBF=90°， 在Rt△PEB中，， ∴， ∴AC与PB所成的角为．　(7分) (3)作AN⊥CM，垂足为N，连结BN， 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM， 故∠ANB为所求二面角的平面角． ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC． 在Rt△PCB中，CM=MB， 所以． 在等腰三角形AMC中， ， ∴．　　　　(10分) 又AB=2，∴， 故所求的二面角为．　(12分) 解法二：因为PA⊥AD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则各点坐标为A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M．　　(1分) (1)因，， 故，所以AP⊥DC． 由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线， 由此得DC⊥面PAD，又DC在面PAD上， 故面PAD⊥面PCD．　　　　　　　　　(3分) (2)因，， 故 所以． ∴AC与PB所成的角为．　　　　　　　　　　　　　(7分) (3)在MC上取一点N(x，y，z)， 使AN⊥MC，设，其中， ∵，， ∴x=1－λ，y=1，． ∵AN⊥MC，∴， 即， 即，解得．　　(8分) 所以点N的坐标为，，， ∴，∴BN⊥MC． 所以∠ANB为所求二面角的平面角．　　(10分) ∵，，， ∴， 故所求的二面角为．