Question

【题目】已知函数f（x）= （b≠0且b是常数）．
（1）如果方程f（x）=x有唯一解，求b值．
（2）在（1）的条件下，求证：f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数；
（3）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求负数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x有唯一解 即 =x有唯一解，

∴x2+（b﹣1）x=0有唯一解，又b≠0，

∴△=（b﹣1）2=0解得b=1

（2）证明：∵由（1）得函数f（x）= ，

f′（x）= ，

当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0恒成立，

故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数；

（3）解：若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，

则f′（x）= ＜0在（1，+∞）上恒成立，

且恒有意义，

故 ，即

解得：﹣1≤b＜0

【解析】（1）根据方程f（x）=x有唯一解，可得b的值；（2）求导，根据当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数；（3）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，则f′（x）= ＜0在（1，+∞）上恒成立，解得负数b的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．