Question

如图,已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD的高都是2,AB=4.

(1)证明PQ⊥平面ABCD;

(2)求异面直线AQ与PB所成的角;

(3)求点P到平面QAD的距离.

Answer 1

(1)证法一:连结AC,BD,设AC∩BD=O.

由P—ABCD与Q—ABCD都是正四棱锥,

所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.

从而P,O,Q三点在一条直线上,

所以PQ⊥平面ABCD.

证法二:取AD的中点M,连结PM,QM.

因为P—ABCD与Q—ABCD都是正四棱锥,

所以AD⊥PM,AD⊥QM.

从而AD⊥平面PQM.

又PQ平面PQM,所以PQ⊥AD.

同理PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD.

(2)解:连结AC,BD,设AC∩BD=O,由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上,

从而P,A,Q,C四点共面.

因为OA=OC,OP=OQ,所以PAQC为平行四边形,

AQ∥PC.

从而∠BPC(或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角.

因为PB=PC=,

所以cos∠BPC=.

从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos.

(3)解:连结OM,则OM=AB=2=PQ.

所以∠PMQ=90°,即PM⊥MQ.

由(1)知AD⊥PM,所以PM⊥平面QAD.

从而PM的长是点P到平面QAD的距离.

在直角△PMO中,PM=,

即点P到平面QAD的距离是.