Question

已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为2

3

，圆C的面积小于13．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C的面积小于13，即可求圆C的标准方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设

OD

∥

MC

，则-3（x₁+x₂）=y₁+y₂，即可得出结论．

解答：解：（I）设圆C：（x-a）²+y²=R²（a＞0），
由题意知

|3a+7| 32+42 =R a2+3 =R

，解得a=1或a=

13

8

，…（3分）
又∵S=πR²＜13，
∴a=1，
∴圆C的标准方程为：（x-1）²+y²=4．    …（6分）
（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又∵l与圆C相交于不同的两点，
联立

y=kx+3 (x-1)2+y2=4

，消去y得：（1+k²）x²+（6k-2）x+6=0，…（9分）
∴△=（6k-2）²-24（1+k²）=36k²-6k-5＞0，
解得k＜1-

2 6

3

或k＞1+

2 6

3

．
x₁+x₂=-

6k-2

1+k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+6=

2k+6

1+k2

，

OD

=

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

2

(x1+x2，y1+y2)，

MC

=(1，-3)，
假设

OD

∥

MC

，则-3（x₁+x₂）=y₁+y₂，
∴3×

6k-2

1+k2

=

2k+6

1+k2

，
解得k=

3

4

∉(-∞，  1-

2 6

3

)∪(1+

2 6

3

，  +∞)，假设不成立．
∴不存在这样的直线l．   …（13分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．