Question

（本题满分12分）如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点 

(1)求证  CD⊥PD;

(2)求证  EF∥平面PAD;

(3)当平面PCD与平面ABCD成角时，求证：直线EF⊥平面PCD。

 

Answer 1

证明 ： (1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，

∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD  (4分)

(2)取CD中点G，连EG、FG，

∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD

∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD（8分）

(3）G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，

故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 

即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌ Rt△ CBE,得PE=CE又F是PC的中点，

∴EF⊥ PC，由CD⊥ EG，CD⊥ FG，得CD⊥ 平面EFG，CD⊥ EF

即EF⊥ CD，故EF⊥ 平面PCD  （12分）