Question

（1）设l₁、l₂是两条异面直线，其公垂线段上的单位向量为n,又C、D分别是l₁、l₂上任意一点，求证:||=|·n|；

（2）已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求体对角线BD₁与面对角线B₁C的距离.

Answer 1

解析：（1）∵n=,∴·n=(++)·.

由于CA⊥AB，BD⊥AB，∴·=0，·=0.

因此|·n|=｜｜.

（2）如下图所示，先找一个向量n,它既与BD₁垂直，又与B₁C垂直，设n=+λ+μDD₁，其中λ,μ为待定系数.由n·=（+λ+μ）·（++）=·+λ·+μ·=-a²-λa²+μa²=-a²(1+λ-μ)=0,

  

∴1+λ-μ=0.又由n·=（+λ+μ）·（+）=·+μ·=-a²-μa²=0,∴1+μ=0.

于是解得μ=-1,λ=-2,

∴n=-2-，|n|=

又BC是连结这两条异面直线BD₁与B₁C上的任意点的线段，由第（1）题知所求距离为d=

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