Question

记公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁＝2＋，S₃＝12＋．

（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；

（2）记b_n＝a_n－，若自然数n₁，n₂，…，n_k，…满足1≤n₁＜n₂＜…＜n_k＜…，并且，，…，，…成等比数列，其中n₁＝1，n₂＝3，求n_k（用k表示）；

（3）试问：在数列{a_n}中是否存在三项a_r，a_s，a_t(r＜s＜t，r，s，t∈N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）因为a₁＝2＋，S₃＝3a₁＋3d＝12＋，所以d＝2．…………………2分

所以a_n＝a₁＋(n－1)d＝2n＋，……………………………………………………………3分

S_n＝＝n²＋(＋1)n．………………………………………………………………5分

（2）因为b_n＝a_n－＝2n，所以＝2n_k．………………………………………………7分

又因为数列{}的首项＝，公比，所以．…………9分

所以2n_k，即n_k．……………………………………………………………10分

（3）假设存在三项a_r，a_s，a_t成等比数列，则，

即有，整理得．…………12分

       若，则，因为r，s，t∈N^*，所以是有理数，这与为无理数矛盾；………………………………………………………………………………14分

       若，则，从而可得r＝s＝t，这与r＜s＜t矛盾．

       综上可知，不存在满足题意的三项a_r，a_s，a_t．……………………………………………16分