Question

若tanα+

1

tanα

=

10

3

，α∈（

π

4

，

π

2

），则sin（2α+

π

4

）的值为（　　）

• A、-

  2

  10

• B、

  2

  10

• C、

  5 2

  10

• D、

  7 2

  10

Answer 1

分析：把已知条件的等式两边都乘以tanα，得到关于tanα的方程，求出方程的解，根据α的范围即可得到满足题意tanα的值，然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用同角三角函数间的基本关系把分母中“1”化为正弦与余弦函数的平方和的形式，分子利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，然后给分子分母都除以cos²α，变为关于tanα的关系式，把求出的tanα的值代入即可求出值．

解答：解：由tanα+

1

tanα

=

10

3

，去分母得：（tanα-3）（3tanα-1）=0，
解得：tanα=3或tanα=

1

3

，
由α∈（

π

4

，

π

2

）得tanα＞1，故tanα=

1

3

舍去，
则sin（2α+

π

4

）=

2

2

×

sin2α+cos2α

1

=

2

2

×

2sinαcosα+cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

=

2

2

×

2tanα+1-tan2α

1+tan2α

=-

2

10

．
故选A

点评：此题考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用二倍角的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道综合题．